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LeyuDame's Blog

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两个生活小问题

在了解Frobenius问题之前, 我们先来看两个生活中的小问题.

首先, 为什么高铁的座位设置大多是 “2+3” 的组合？即过道一侧是两个座位组合在一起、另一侧是三个座位组合在一起呢？设想一下, 当你和家人或是朋友出行时, 不管你们人数是多少, 只要不少于两人, 总有一种座位组合方式让每一个人和认识的人坐在一起, 而不会出现落单的情况. 当出行人数是偶数时, 只需都安排两人坐即可；当出行人数是奇数时, 只需安排三个人坐三人座, 剩下的人（如果有的话）一定是偶数, 再安排两人座若干即可.

我们再看第二个问题：给定几种面值的硬币, 不能用这些硬币支付的最大金额是多少？

假设你现在去便利店买东西, 现在有若干面值的硬币：￥2, ￥3, ￥5, ￥7, 你只可以选其中两种放进你的钱包（数量不限）. 你不知道你要买的东西具体的价格, 并且便利店不设找零, 所以你希望用这两种面值的硬币去组合出尽可能多的数值, 你会怎么选？

假如现在你选了￥3和￥5, 那么从不小于￥5的商品开始逐一验证, 我们发现如果商品的价格是￥7就无法组合出来, 不过价格超过￥7 时似乎都可以表示出来；接着我们选￥3和￥7继续做试验, 我们发现￥8, ￥11 都是无法用￥3 和￥7 组合出来的, 那么大于￥11的情形是否都满足可以用这两种面额的硬币进行组合呢？逐一验证的方法显然无法严格证明.

两个数学问题

我们先不急着回答刚才的问题, 而是先看两道数学问题.

问题 1

设正整数 互素. 证明：不定方程 没有非负整数解.

问题 2
设正整数 互素, 且正整数 满足 . 证明：不定方程 有非负整数解.

事实上, 上述两个问题说的是同一件事, 也即是：对于不定方程 , 只要 , 方程 就有非负整数解.

问题1的证明

采用反证法. 若存在非负整数对 满足该不定方程, 则 ， 此时应有 , 因为 , 故 , 由于 与 均为正整数, 得 .

同理可证：, 进而 . 但此时左边满足 而右边为 , 矛盾.

因此, 原方程没有非负整数解.

问题2的证明

这里我们要用到二元一次不定方程通解的概念. 现设方程的通解为
其中 为方程的特解.

通过调节 的值（对 增减 ）, 可找到一个解 使得 . 此时
故, 即 . 这表明 是方程的非负整数解, 命题得证.

Frobenius问题（硬币问题）

Frobenius问题（又称硬币问题）的核心是研究给定一组互素的正整数 时, 无法表示为这些数的非负整数线性组合的最大整数. 这个最大不可表数被称为 Frobenius数, 记作 . 例如, 对于互素的 和 , Sylvester 在 1884 年证明了 , 这正是前文问题 1 和 2 中提到的临界值 .

该问题由德国数学家 Ferdinand Georg Frobenius 在 19 世纪末提出, 但更早的研究可追溯至英国数学家 James Joseph Sylvester. Sylvester 在讨论“鸡块问题”时, 已揭示了二元情形的解：若鸡块包装为 7 块和 11 块, 则最大无法购买的块数为 59. 这一具体案例被广泛用于数学教学中, 成为经典例题.

虽然二元情形已有明确公式, 但当变量数 时, Frobenius数尚无通用解法. 数学家 Issai Schur 曾称其为“数论中看似简单却极难的问题”. 目前已知： 1. 三元及以上无通解：即使对 , 仅在某些特殊条件下存在部分公式（如等差数列或特定互素组合）. 2. 计算复杂度：确定 Frobenius数属于 NP 难问题, 当 较大时需依赖算法或近似计算. 3. 实际应用：该问题在资源调度、密码学、物流规划中均有应用. 例如, 优化自动售货机的硬币找零系统.

最后是相关领域的一些扩展与应用：

  1. 代数拓扑的联系
    广义弱双 Frobenius 代数上的等变循环上同调研究, 揭示了该问题在代数结构与拓扑不变性中的深层联系. 例如, 等变循环上同调的不变量可能与 Frobenius数的计算相关.

  2. 组合优化与算法
    目前主流的算法包括：
    • 穷举法：通过模运算缩小搜索范围（如对二元情形取模 或 ）.
    • 差分法：利用动态规划标记可表数.
    • 几何方法：将问题转化为格点覆盖问题, 分析超立方体的覆盖间隙.

  3. 未解之谜
    对 的情形, 数学家仅能通过条件约束（如 且互素）或特定结构（如等差数列）推导部分结果. 例如, 若 成等差数列且互素, 则 （需验证条件）.

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余秋雨《文化苦旅》

只有走在路上，才能摆脱局限，摆脱执着，让所有的选择、探寻、猜测、想象都生机勃勃。

吴军《数学之美》

每当弗莱德和我谈起各自少年时的教育，我们都同意这样几个观点。首先，小学生和中学生其实没有必要花那么多时间读书，而他们的社会经验、生活能力以及在那时树立起的志向将帮助他们的一生。第二，中学阶段花很多时间比同伴多读的课程，上大学以后用很短时间就能读完，因为在大学阶段，人的理解力要强得多。举个例子，在中学需要花500小时才能学会的内容，在大学可能花100小时就够了。因此，一个学生在中小学阶段建立的那一点点优势在大学很快就会丧失殆尽。第三，学习（和教育）是持续一辈子的过程，很多中学成绩优异的亚裔学生进入名校后表现明显不如那些出于兴趣而读书的美国同伴，因前者持续学习的动力不足。第四，书本的内容可以早学，也可以晚学，但是错过了成长阶段却是无法补回来的。（因此，少年班的做法不足取。）现在中国的好学校里，恐怕百分之九十九的孩子在读书上花的时间都比我当时要多，更比贾里尼克要多得多，但是这些孩子今天可能有百分之九十九在学术上的建树不如我，更不如贾里尼克。这实在是教育的误区。

丘成桐《我的几何人生》

从这次和多年来同行间的摩擦，可见世事从来就不是一帆风顺的，就算拿到菲尔兹奖，人生也不会就此步步高升。地心吸力会发挥作用，拖你后腿，有时甚至拖垮你。

虽然金钱需要考虑，但正如五柳先生说的，它并不是一切，做人要看远些。我会在高研院的一年尽力工作和学习，然后再找更理想的位置。

自1987年开始，过去三十多年我都在哈佛度过。诚然，这么多年，不一定天天都快乐，但总的来说是美好的日子，或者谚语说得对，“第三次，便顺意”。

顾险峰

大多数浅层次的智力劳动很快会被AI所承担，年轻人求学期间尽量学习更为深刻的理工科方向，才能保证长期的核心竞争力。

沃尔特·艾萨克森 《埃隆·马斯克传》

先设定一个不切实际的时间表，然后“取法乎上得其中”——疯狂的想法原本不可能变成现实，结果是很多年之后最终实现了。

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主要特色

  1. 纯粹的师大蓝：两种颜色分别取自官网和校徽，再设置不同透明度进行组合

  2. 极致的矢量图：可以直接使用Tikz作图，包括封面校徽logo也是Tikz作出的矢量图

  3. 数学字体选用了个人认为比较好看的Fourier（中文字体默认为微软雅黑）

  4. 与BNU图书馆官方毕业论文​模板语法一致，可以实现无缝迁移，例如

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    Tikz校徽

    矢量图来源于Figma上的中国大学矢量校徽合集，但是由于介绍页面中注明禁止转载，所以也就不附上链接了。

    前段时间看到了这篇文章中通过Inkscape以及插件svg2tikz，分别得到了复旦和科大的校徽Tikz代码。由于之前发布的部分模板里并没有用到矢量logo，于是得到北师大校徽Tikz代码后，我顺带更新了一下之前模板里的校徽，目前更新已全部发布到GitHub，而overleaf由于发布流程繁琐一些，所以暂时不考虑更新。

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    前几天整理了一下1月份上学科营的内容，连续多天的课程为我后续进行批量大规模的备课提供了可借鉴的经验基础。

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    记录一下自己常用的Marp基本配置，这样如果隔一段时间不用忘记了又得翻这几个文档🤣

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    峥嵘岁月

    记得第一次参加美赛是是一个寒冷潮湿的早春，那时还不怎么会，我们用word+在线文档小程序“语文建模”，比赛的第三天在本地word上从早写到晚，结果一次不小心的操作（应该是先误删后保存再关闭文件）导致这一天书写的内容功亏一篑，虽然有手动备份但也是当天早上非常原始的版本。幸好当时还有把新建的文件放到桌面上编辑的习惯，登录OneDrive才重新恢复了文件。

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    第一次吃番石榴，是在高三的时候。这一年冬天，竟没有一丝寒冷，课间跑到楼下大卖部买一杯切好的番石榴，迎着阳光上楼。果肉从浅绿到乳白，挑起一块塞入口中，清爽香甜，沁人心脾，一抹淡淡的往事就这样荡漾开来。

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    这是我在读高一时一次期中考的语文作文，这篇文章在当时获得了55分的高分（满分60）并全年级印发。后来我曾经一度忘记了其中的具体内容，直到最近才发现了手稿，由于是考场中仓促成文，难免有不足之处，但是后半部分的层层递进的内在逻辑结构以及言简意丰的语言确实有值得回味之处。现重新整理成电子稿的形式存档，全文如下：

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    很久之前就有搭建一个丝滑的毕业论文写作平台的构想了，但是直到最近才有时间写出来。毕业论文同数学建模竞赛论文一样都有着较为严格的格式规范，具体的格式要求可参阅长达10页的《师教培养〔2020〕6 号-北京师范大学本科生毕业论文写作规范》，因此如果能用上提前定义好格式的模板，专注于查阅文献与内容创作，并且让论文里的数学公式和图表漂亮一些，将是一个较为不错的选择。

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    模板说明

    本模板主要适用于一些课程的平时论文以及期末论文，默认页边距为2.5cm，中文宋体，英文Times New Roman，字号为12pt（小四）。

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